Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval 21219
 Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3 𝐶 = ran (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 leordtval.2 . . 3 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
31, 2leordtval2 21218 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
4 letsr 17428 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
5 ledm 17425 . . . . 5 * = dom ≤
61leordtvallem1 21216 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
71, 2leordtvallem2 21217 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
8 leordtval.3 . . . . . 6 𝐶 = ran (,)
9 df-ioo 12372 . . . . . . . 8 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)})
10 xrltnle 10297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
1110adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
12 xrltnle 10297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1312ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1413adantll 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1511, 14anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)))
1615rabbidva 3328 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1716mpt2eq3ia 6885 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
189, 17eqtri 2782 . . . . . . 7 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1918rneqi 5507 . . . . . 6 ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
208, 19eqtri 2782 . . . . 5 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
215, 6, 7, 20ordtbas2 21197 . . . 4 ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
224, 21ax-mp 5 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶)
2322fveq2i 6355 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
243, 23eqtri 2782 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   ∪ cun 3713   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  ficfi 8481  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  [,)cico 12370  topGenctg 16300  ordTopcordt 16361   TosetRel ctsr 17400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-top 20901  df-bases 20952 This theorem is referenced by:  iocpnfordt  21221  icomnfordt  21222  iooordt  21223  pnfnei  21226  mnfnei  21227  xrtgioo  22810
 Copyright terms: Public domain W3C validator