MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leord2 10671
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
Assertion
Ref Expression
leord2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑁𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem leord2
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
21negeqd 10388 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → -𝐴 = -𝐵)
3 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
43negeqd 10388 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → -𝐴 = -𝑀)
5 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
65negeqd 10388 . . 3 (𝑥 = 𝐷 → -𝐴 = -𝑁)
7 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
8 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
98renegcld 10570 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
10 ltord2.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
118ralrimiva 3068 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
121eleq1d 2788 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1312rspccva 3412 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1411, 13sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514adantrl 754 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 ltneg 10641 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1910, 18sylibd 229 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → -𝐴 < -𝐵))
202, 4, 6, 7, 9, 19leord1 10668 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷 ↔ -𝑀 ≤ -𝑁))
215eleq1d 2788 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3412 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2311, 22sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423adantrl 754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
253eleq1d 2788 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
2625rspccva 3412 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2711, 26sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2827adantrr 755 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29 leneg 10644 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ -𝑀 ≤ -𝑁))
3024, 28, 29syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑁𝑀 ↔ -𝑀 ≤ -𝑁))
3120, 30bitr4d 271 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wss 3680   class class class wbr 4760  cr 10048   < clt 10187  cle 10188  -cneg 10380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator