HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopnmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopnmid 29125
Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopnmid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 28910 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21adantlr 751 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
31recnd 10106 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14219 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
54adantlr 751 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6 idhmop 28969 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
7 hmopm 29008 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
86, 7mpan2 707 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9 hmopre 28910 . . . . . 6 ((((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
108, 9sylan 487 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
1110adantll 750 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
121leabsd 14197 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1312adantlr 751 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
14 hmopf 28861 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 normcl 28110 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan 487 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantlr 751 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
20 normcl 28110 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10108 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2314, 15sylan 487 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 bcs 28166 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2523, 24sylancom 702 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2625adantlr 751 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
27 remulcl 10059 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2820, 27sylan2 490 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantll 750 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
30 normge0 28111 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑥))
3120, 30jca 553 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
3231adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
33 hmoplin 28929 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34 elbdop2 28858 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ))
3534biimpri 218 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
3633, 35sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37 nmbdoplb 29012 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
3836, 37sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
39 lemul1a 10915 . . . . . . 7 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
4019, 29, 32, 38, 39syl31anc 1369 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
41 recn 10064 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4241ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4321recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43, 43mulassd 10101 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
45 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46 ax-his3 28069 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4742, 45, 45, 46syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4820recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4948sqvald 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = ((norm𝑥) · (norm𝑥)))
50 normsq 28119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5149, 50eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) · (norm𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5251oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5352adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5447, 53eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
5544, 54eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
56 hoif 28741 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59 homval 28728 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
6042, 58, 45, 59syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
61 hoival 28742 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop𝑥) = 𝑥)
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6460, 63eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6564oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
6655, 65eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
6740, 66breqtrd 4711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
685, 22, 11, 26, 67letrd 10232 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
692, 5, 11, 13, 68letrd 10232 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
7069ralrimiva 2995 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71 leop2 29111 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
728, 71sylan2 490 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7370, 72mpbird 247 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  cle 10113  2c2 11108  cexp 12900  abscabs 14018  chil 27904   · csm 27906   ·ih csp 27907  normcno 27908   ·op chot 27924   Iop chio 27929  normopcnop 27930  LinOpclo 27932  BndLinOpcbo 27933  HrmOpcho 27935  op cleo 27943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382  df-hosum 28717  df-homul 28718  df-hodif 28719  df-h0op 28735  df-iop 28736  df-nmop 28826  df-lnop 28828  df-bdop 28829  df-hmop 28831  df-leop 28839
This theorem is referenced by:  nmopleid  29126
  Copyright terms: Public domain W3C validator