HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopmuli 29332
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇)) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))

Proof of Theorem leopmuli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 29122 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2 mulge0 10748 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
31, 2sylanr1 661 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
43expr 444 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
54an4s 639 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴𝑥 ∈ ℋ)) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
65anassrs 458 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
7 recn 10228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 hmopf 29073 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
97, 8anim12i 600 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10 homval 28940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
11103expa 1111 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
1211oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
13 simpll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1514adantll 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
17 ax-his3 28281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1813, 15, 16, 17syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1912, 18eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
209, 19sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2120breq2d 4798 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
2221adantlr 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐴 · ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
236, 22sylibrd 249 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2423ralimdva 3111 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2524expimpd 441 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
26 leoppos 29325 . . . . 5 (𝑇 ∈ HrmOp → ( 0hopop 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2726adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hopop 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
2827anbi2d 614 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
29 hmopm 29220 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
30 leoppos 29325 . . . 4 ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp → ( 0hopop (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ( 0hopop (𝐴 ·op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
3225, 28, 313imtr4d 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)))
3332imp 393 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇)) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   · cmul 10143  cle 10277  chil 28116   · csm 28118   ·ih csp 28119   ·op chot 28136   0hop ch0o 28140  HrmOpcho 28147  op cleo 28155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-pjh 28594  df-hosum 28929  df-homul 28930  df-hodif 28931  df-h0op 28947  df-hmop 29043  df-leop 29051
This theorem is referenced by:  leopmul  29333  leopmul2i  29334  opsqrlem1  29339
  Copyright terms: Public domain W3C validator