HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leop2 29290
Description: Ordering relation for operators. Definition of operator ordering in [Young] p. 141. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leop2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem leop2
StepHypRef Expression
1 leop 29289 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2 hmopf 29040 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3 hmopf 29040 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
42, 3anim12i 591 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ))
5 hodval 28908 . . . . . . . . . 10 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
653com12 1118 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
763expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)))
87oveq1d 6826 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥))
9 ffvelrn 6518 . . . . . . . . 9 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
109adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
11 ffvelrn 6518 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1211adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
13 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
14 his2sub 28256 . . . . . . . 8 (((𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈𝑥) − (𝑇𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
168, 15eqtrd 2792 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
174, 16sylan 489 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1817breq2d 4814 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
19 hmopre 29089 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2019adantll 752 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21 hmopre 29089 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2221adantlr 753 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
2320, 22subge0d 10807 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2418, 23bitrd 268 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2524ralbidva 3121 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
261, 25bitrd 268 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048   class class class wbr 4802  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  cr 10125  0cc0 10126  cle 10265  cmin 10456  chil 28083   ·ih csp 28086   cmv 28089  op chod 28104  HrmOpcho 28114  op cleo 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cc 9447  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206  ax-hilex 28163  ax-hfvadd 28164  ax-hvcom 28165  ax-hvass 28166  ax-hv0cl 28167  ax-hvaddid 28168  ax-hfvmul 28169  ax-hvmulid 28170  ax-hvmulass 28171  ax-hvdistr1 28172  ax-hvdistr2 28173  ax-hvmul0 28174  ax-hfi 28243  ax-his1 28246  ax-his2 28247  ax-his3 28248  ax-his4 28249  ax-hcompl 28366
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-omul 7732  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-lm 21233  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cfil 23251  df-cau 23252  df-cmet 23253  df-grpo 27654  df-gid 27655  df-ginv 27656  df-gdiv 27657  df-ablo 27706  df-vc 27721  df-nv 27754  df-va 27757  df-ba 27758  df-sm 27759  df-0v 27760  df-vs 27761  df-nmcv 27762  df-ims 27763  df-dip 27863  df-ssp 27884  df-ph 27975  df-cbn 28026  df-hnorm 28132  df-hba 28133  df-hvsub 28135  df-hlim 28136  df-hcau 28137  df-sh 28371  df-ch 28385  df-oc 28416  df-ch0 28417  df-shs 28474  df-pjh 28561  df-hosum 28896  df-homul 28897  df-hodif 28898  df-h0op 28914  df-hmop 29010  df-leop 29018
This theorem is referenced by:  leop3  29291  idleop  29297  leoptri  29302  leoptr  29303  leopnmid  29304
  Copyright terms: Public domain W3C validator