MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenlt 10154
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 10123 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10123 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrlenlt 10141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 493 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-cnv 5151  df-xr 10116  df-le 10118
This theorem is referenced by:  ltnle  10155  letri3  10161  leloe  10162  eqlelt  10163  ne0gt0  10180  lelttric  10182  lenlti  10195  lenltd  10221  ltaddsub  10540  leord1  10593  lediv1  10926  suprleub  11027  dfinfre  11042  infregelb  11045  nnge1  11084  nnnlt1  11088  avgle1  11310  avgle2  11311  nn0nlt0  11357  recnz  11490  btwnnz  11491  prime  11496  indstr  11794  uzsupss  11818  zbtwnre  11824  rpneg  11901  2resupmax  12057  fzn  12395  nelfzo  12514  fzonlt0  12530  fllt  12647  flflp1  12648  modifeq2int  12772  om2uzlt2i  12790  fsuppmapnn0fiub0  12833  suppssfz  12834  leexp2  12955  discr  13041  bcval4  13134  ccatsymb  13400  swrd0  13480  sqrtneglem  14051  harmonic  14635  efle  14892  dvdsle  15079  dfgcd2  15310  lcmf  15393  infpnlem1  15661  pgpssslw  18075  gsummoncoe1  19722  mp2pm2mplem4  20662  dvferm1  23793  dvferm2  23795  dgrlt  24067  logleb  24394  argrege0  24402  ellogdm  24430  dvlog2lem  24443  cxple  24486  cxple3  24492  asinneg  24658  birthdaylem3  24725  ppieq0  24947  chpeq0  24978  chteq0  24979  lgsval2lem  25077  lgsneg  25091  lgsdilem  25094  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem3  25138  ostth2lem1  25352  ostth3  25372  upgrewlkle2  26558  rusgrnumwwlks  26941  clwlkclwwlklem2a  26964  frgrreg  27381  friendship  27386  nmounbi  27759  nmlno0lem  27776  nmlnop0iALT  28982  supfz  31739  inffz  31740  inffzOLD  31741  fz0n  31742  nn0prpw  32443  leceifl  33528  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem20  33559  poimirlem24  33563  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  ftc1anclem1  33615  nninfnub  33677  ellz1  37647  rencldnfilem  37701  limsup10ex  40323  icccncfext  40418  subsubelfzo0  41661  digexp  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator