Theorem leneltd 10397

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 10396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ℝcr 10141   < clt 10280   ≤ cle 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286

This theorem is referenced by:  flltnz  12820  fprodle  14933  unbdqndv2lem2  32838  fzdifsuc2  40038  xralrple2  40083  xralrple3  40103  eliccelioc  40263  limcresiooub  40389  limcresioolb  40390  icccncfext  40615  cncfiooiccre  40623  dvbdfbdioolem2  40659  dvnxpaek  40672  volioc  40702  itgioocnicc  40707  iblcncfioo  40708  dirkercncflem1  40834  fourierdlem24  40862  fourierdlem25  40863  fourierdlem32  40870  fourierdlem33  40871  fourierdlem41  40879  fourierdlem42  40880  fourierdlem46  40883  fourierdlem48  40885  fourierdlem49  40886  fourierdlem51  40888  fourierdlem64  40901  fourierdlem65  40902  fourierdlem73  40910  fourierdlem76  40913  fourierdlem79  40916  fourierdlem81  40918  fourierdlem82  40919  fourierdlem89  40926  fourierdlem91  40928  fourierdlem102  40939  fourierdlem114  40951  fourierswlem  40961  fouriersw  40962  etransclem15  40980  etransclem24  40989  etransclem25  40990  etransclem35  41000  iundjiun  41191  hoidmvlelem2  41327