MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1d 12117
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lemul1d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem lemul1d
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 12080 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5 lemul1 11076 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1475 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  +crp 12034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-rp 12035
This theorem is referenced by:  sqrlem7  14196  reccn2  14534  isprm5  15625  nrginvrcnlem  22714  nmoid  22765  logcnlem4  24611  logfaclbnd  25167  bposlem6  25234  chebbnd1lem1  25378  chebbnd1lem3  25380  rplogsumlem1  25393  dchrisum0lem1  25425  chpdifbndlem1  25462  pntibndlem2  25500  pntlemo  25516  ostth2lem3  25544  hgt750leme  31070  itg2addnclem3  33788  irrapxlem5  37909  stirlinglem10  40811  fourierdlem4  40839  fourierdlem7  40842  fourierdlem42  40877
  Copyright terms: Public domain W3C validator