MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12b 11092
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 11090 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷))
21ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
323comr 1120 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
433expb 1114 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
54adantrrr 763 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
65adantlr 753 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
7 lemul1a 11089 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))
87ex 449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
983expa 1112 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
109adantllr 757 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
1110adantrl 754 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
126, 11anim12d 587 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐶𝐷𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
1312ancomsd 469 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
14 remulcl 10233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
1514adantlr 753 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
1615ad2ant2r 800 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
17 remulcl 10233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
1817ad2ant2r 800 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
1918ad2ant2rl 802 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
20 remulcl 10233 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
2120adantrr 755 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
2221ad2ant2l 799 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
23 letr 10343 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
2416, 19, 22, 23syl3anc 1477 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
2513, 24syld 47 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   · cmul 10153  cle 10287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481
This theorem is referenced by:  lemul12a  11093  lemul12bd  11179  lo1mul  14577  pntibndlem2  25500
  Copyright terms: Public domain W3C validator