MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemaxle 12190
Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lemaxle (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle
StepHypRef Expression
1 max2 12182 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
21ancoms 468 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
32adantr 472 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
4 simpr 479 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simpll 807 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ifcl 4262 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
76adantr 472 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8 letr 10294 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1463 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
103, 9mpan2d 712 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11103impia 1109 1 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2127  ifcif 4218   class class class wbr 4792  cr 10098  cle 10238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243
This theorem is referenced by:  setsstructOLD  16072
  Copyright terms: Public domain W3C validator