MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 24649
Description: The Leibniz formula for π. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2 2cn 11076 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3 nn0cn 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
4 mulcl 10005 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
7 pncan 10272 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
85, 6, 7sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
98oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
10 2ne0 11098 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
11 divcan3 10696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1414 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 4731 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2645 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 12789 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2120breq1i 4651 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 11110 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 12860 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 705 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 11294 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
26 nn0mulcl 11314 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
2725, 26mpan 705 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
28 nn0p1nn 11317 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3024, 29nndivred 11054 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 10053 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2699 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3332adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
34 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
3534oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
3635oveq2d 6651 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 6653 . . . 4 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 15521 . . 3 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴))
4039trud 1491 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
41 addid2 10204 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 10018 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
44 1eluzge0 11717 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘0))
46 1nn0 11293 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
48 0cnd 10018 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → 0 ∈ ℂ)
49 ioran 511 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘))
50 leibpilem1 24648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5150simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
52 reexpcl 12860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 11054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 10053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5749, 56sylan2b 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5848, 57ifclda 4111 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
5947, 58fmpti 6369 . . . . . . . . 9 𝐺:ℕ0⟶ℂ
6059ffvelrni 6344 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
62 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...(1 − 1)))
63 1m1e0 11074 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
6463oveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 − 1)) = (0...0)
6562, 64syl6eleq 2709 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 12337 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) → 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6182 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
69 0nn0 11292 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
70 iftrue 4083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
7170orcs 409 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
72 c0ex 10019 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6269 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = 0
7568, 74syl6eq 2670 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 12829 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 11393 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
78 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
79 nnuz 11708 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
8078, 79syl6eleqr 2710 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
81 nnne0 11038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8281neneqd 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 420 . . . . . . . . . . 11 𝑛 = 0 → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8584ifbid 4099 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 ∥ 𝑘 ↔ 2 ∥ 𝑛))
87 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 − 1) / 2) = ((𝑛 − 1) / 2))
8988oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
9189, 90oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4102 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
94 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4147 . . . . . . . . . 10 if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 6269 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 11284 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
98 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4147 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 6269 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2664 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10677, 105seqfeq 12809 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2657 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))))
108107trud 1491 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))))
109108breq1i 4651 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 11392 . . . 4 1 ∈ ℤ
111 seqex 12786 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 14287 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 707 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 266 . 2 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 286 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wtru 1482  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cres 5106  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  cexp 12843  cli 14196  cdvds 14964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-dvds 14965
This theorem is referenced by:  leibpi  24650
  Copyright terms: Public domain W3C validator