MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem1 24712
Description: Lemma for leibpi 24714. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem leibpilem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
21biimpi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32ord 391 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
43con1d 139 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
54imp 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantrr 753 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nn0z 11438 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 odd2np1 15112 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
11 zcn 11420 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
12 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
13 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
15 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
16 pncan 10325 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1714, 15, 16sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1817oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
19 2ne0 11151 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
20 divcan3 10749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2112, 19, 20mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2218, 21eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
2523, 24eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
26 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
2726oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
2827eleq1d 2715 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2925, 28syl5ibcom 235 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3029rexlimiv 3056 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3110, 30syl6bi 243 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3231impr 648 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33 nnm1nn0 11372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
346, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3534nn0red 11390 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3634nn0ge0d 11392 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
37 2re 11128 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
39 2pos 11150 . . . . 5 0 < 2
4039a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 < 2)
41 divge0 10930 . . . 4 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 1367 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
43 elnn0z 11428 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4432, 42, 43sylanbrc 699 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
456, 44jca 553 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  leibpilem2  24713  leibpi  24714
  Copyright terms: Public domain W3C validator