MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrd 25704
Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtrd.e (𝜑𝐸𝑃)
legtrd.f (𝜑𝐹𝑃)
legtrd.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtrd.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
legtrd (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2770 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 704 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
76ad4antr 704 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐶𝑃)
8 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
98ad4antr 704 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐷𝑃)
10 simp-4r 762 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥𝑃)
11 eqid 2770 . . . . . 6 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
12 legtrd.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑃)
1312ad4antr 704 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝐸𝑃)
14 simplr 744 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑦𝑃)
15 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
16 simpllr 752 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
1716simpld 476 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 25672 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐷 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝐶 = 𝑥))
19 simprr 748 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 25682 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
215ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2213ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐸𝑃)
23 simplr 744 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧𝑃)
24 simp-4r 762 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦𝑃)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
2625ad6antr 712 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐹𝑃)
277ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐶𝑃)
2810ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥𝑃)
299ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝐷𝑃)
30 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩)
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 25639 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝐶𝑥𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑧𝑦”⟩)
3217ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 25645 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
34 simpllr 752 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
3534simpld 476 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 25613 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹))
37 simp-5r 766 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
3837simprd 477 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 25635 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐶 𝑥) = (𝐸 𝑧))
4038, 39eqtrd 2804 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))
4136, 40jca 495 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
4241ex 397 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) → (⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4342reximdva 3164 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → (∃𝑧𝑃 ⟨“𝐶𝐷𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑧”⟩ → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
4420, 43mpd 15 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
45 legtrd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹))
46 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 25700 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦))))
4845, 47mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
4948ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐸 𝑦)))
5044, 49r19.29a 3225 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
51 legtrd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
52 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
53 legid.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 25700 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
5551, 54mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
5650, 55r19.29a 3225 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧)))
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 25700 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝑧))))
5856, 57mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐸 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  ⟨“cs3 13795  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  cgrGccgrg 25625  ≤Gcleg 25697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698
This theorem is referenced by:  legso  25714
  Copyright terms: Public domain W3C validator