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Theorem legso 25539
Description: The shorter-than relationship builds an order over pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
Assertion
Ref Expression
legso (𝜑< Or 𝐸)

Proof of Theorem legso
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2832 . . . . . . 7 ¬ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦)
21intnan 980 . . . . . 6 ¬ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))
3 legval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
7 legval.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad3antrrr 766 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 legso.a . . . . . . 7 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
11 legso.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun )
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → Fun )
1312ad3antrrr 766 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
14 legso.l . . . . . . 7 < = (( 𝐸) ∖ I )
15 legso.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
1615ad4antr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
17 simpllr 815 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑥𝑃)
18 simplr 807 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑃)
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 25537 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))))
202, 19mtbiri 316 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦))
21 simpr 476 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2221, 21breq12d 4698 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦)))
2320, 22mtbird 314 . . . 4 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 25536 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2623, 25r19.29vva 3110 . . 3 ((𝜑𝑎𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
277ad8antr 785 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2827ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29 simp-9r 834 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
30 simp-8r 832 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
31 simp-6r 828 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
32 simp-5r 826 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
33 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑢𝑃)
34 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑣𝑃)
35 simp-10r 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐))
3635simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37 simp-7r 830 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
38 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
3936, 37, 383brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡))
4011ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
4140ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → Fun )
4215ad8antr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
4342ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 25537 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))))
4539, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡)))
4645simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
4735simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 𝑣))
4947, 38, 483brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣))
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 25537 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣))))
5149, 50mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣)))
5251simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 25529 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣))
5428adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
5630adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
5731adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
5832adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
5946adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
6052adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
61 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6260, 61breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦))
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 25530 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6445simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6665neneqd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6763, 66pm2.65da 599 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6867neqned 2830 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 25537 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))))
7053, 68, 69mpbir2and 977 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣))
7170, 37, 483brtr4d 4717 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72 simp-5r 826 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸))
7372simp3d 1095 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑐𝐸)
7473ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑐𝐸)
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 25536 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑐 = (𝑢 𝑣))
7671, 75r19.29vva 3110 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
777ad5antr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7811ad5antr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
7972simp2d 1094 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑏𝐸)
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 25536 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
8176, 80r19.29vva 3110 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
827ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8311ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → Fun )
84 simplr1 1123 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎𝐸)
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 25536 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
8681, 85r19.29vva 3110 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
8786ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
8826, 87ispod 5072 . 2 (𝜑< Po 𝐸)
897ad8antr 785 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90 simp-6r 828 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑥𝑃)
91 simp-5r 826 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑦𝑃)
92 simpllr 815 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑧𝑃)
93 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑡𝑃)
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 25531 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)))
9511ad8antr 785 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
9615ad8antr 785 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 25538 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 25538 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
9997, 98orbi12d 746 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))))
10094, 99mpbid 222 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
101 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ↔ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))
102101orbi2i 540 . . . . . . . . 9 (((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))
103102orbi2i 540 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
104 df-3or 1055 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
105 3orcomb 1065 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
106 orordir 552 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
107104, 105, 1063bitr3ri 291 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
108103, 107bitr3i 266 . . . . . . 7 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
109100, 108sylib 208 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
110 simp-4r 824 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
111 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
112110, 111breq12d 4698 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡)))
113110, 111eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
114111, 110breq12d 4698 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
115112, 113, 1143orbi123d 1438 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦))))
116109, 115mpbird 247 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
1177ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11811ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → Fun )
119 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝑏𝐸)
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 25536 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
121120ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
122116, 121r19.29vva 3110 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12325adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
124122, 123r19.29vva 3110 . . 3 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
125124anasss 680 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12688, 125issod 5094 1 (𝜑< Or 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607   class class class wbr 4685   I cid 5052   Or wor 5063   × cxp 5141  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  ≤Gcleg 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523
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