MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2a 13131
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 10254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4 0lt1 10763 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 1)
6 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 10410 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
81, 7elrpd 12083 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 eluzel2 11905 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1093ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 rpexpcl 13094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
1312rpred 12086 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1413recnd 10281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1514mulid2d 10271 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑀))
16 uznn0sub 11933 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
17163ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 expge1 13112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
201recnd 10281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
217gt0ne0d 10805 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ≠ 0)
22 eluzelz 11910 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23223ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 expsub 13123 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1478 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2619, 25breqtrd 4831 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
27 rpexpcl 13094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
288, 23, 27syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2928rpred 12086 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
303, 29, 12lemuldivd 12135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀))))
3126, 30mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁))
3215, 31eqbrtrrd 4829 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  0cn0 11505  cz 11590  cuz 11900  +crp 12046  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13210  digit1  13213  leexp2ad  13256  faclbnd4lem1  13295  climcndslem1  14801  climcndslem2  14802  ef01bndlem  15134  aaliou3lem2  24318
  Copyright terms: Public domain W3C validator