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Theorem leexp1a 12959
 Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
2 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
31, 2breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
43imbi2d 329 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
6 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
75, 6breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
87imbi2d 329 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))))
9 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
119, 10breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1211imbi2d 329 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 329 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))))
17 recn 10064 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 10064 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp0 12904 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21 1le1 10693 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
2220, 21syl6eqbr 4724 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23 exp0 12904 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
2522, 24breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2617, 18, 25syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2726adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3028, 29sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
31 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
34 expge0 12936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
36 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3836, 37sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3930, 35, 38jca31 556 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
40 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
4240, 41anim12i 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
44 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4539, 43, 44jca32 557 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
47 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
48 simplrr 818 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → 𝐴𝐵)
5047, 49jca 553 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵))
51 lemul12a 10919 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
5246, 50, 51sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵))
53 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5417, 53sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5554adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5655adantlr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
58 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5918, 58sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6059adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6160adantlr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6261adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6352, 57, 623brtr4d 4717 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
6463ex 449 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
6564expcom 450 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 11510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
6867exp4c 635 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
6968com3l 89 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
70693imp1 1302 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   ≤ cle 10113  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  expubnd  12961  facubnd  13127  pserulm  24221  logexprlim  24995  ostth2lem2  25368  ostth3  25372  dvdivbd  40456  stoweidlem1  40536  stoweidlem24  40559  etransclem23  40792  lighneallem4a  41850
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