MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1i 10987
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ledivp1i ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ledivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 ltmul1.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3readdcli 10091 . . . . 5 (𝐶 + 1) ∈ ℝ
52ltp1i 10965 . . . . . . 7 𝐶 < (𝐶 + 1)
62, 4, 5ltleii 10198 . . . . . 6 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7 lemul2a 10916 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
86, 7mpan2 707 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1454 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
101, 9mpan 706 . . 3 (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11103ad2ant1 1102 . 2 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1312, 2, 4lelttri 10202 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝐶𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
145, 13mpan2 707 . . . . . 6 (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
154gt0ne0i 10601 . . . . . . . . 9 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ
1716, 4redivclzi 10829 . . . . . . . . 9 ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19 lemul1 10913 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
201, 19mp3an1 1451 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2120ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
224, 21mpani 712 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
2318, 22mpcom 38 . . . . . . 7 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2423biimpd 219 . . . . . 6 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2514, 24syl 17 . . . . 5 (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2625imp 444 . . . 4 ((0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
2716recni 10090 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
284recni 10090 . . . . . . 7 (𝐶 + 1) ∈ ℂ
2927, 28divcan1zi 10799 . . . . . 6 ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
3014, 15, 293syl 18 . . . . 5 (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
3130adantr 480 . . . 4 ((0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
3226, 31breqtrd 4711 . . 3 ((0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
33323adant1 1099 . 2 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
341, 2remulcli 10092 . . 3 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
351, 4remulcli 10092 . . 3 (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
3634, 35, 16letri 10204 . 2 (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
3711, 33, 36syl2anc 694 1 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator