MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem2 22982
Description: Lemma for lebnum 22984. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 22880, the function 𝐹 is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧,𝐷   𝑘,𝐽,𝑦,𝑧   𝑈,𝑘,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22360 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 22465 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 lebnumlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
103adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11 difssd 3881 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
125adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1312, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 lebnum.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1514sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐽)
16 toponss 20953 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝑋)
1713, 15, 16syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
19 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
2019notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
2118, 20syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
2221necon2ad 2947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
2322imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
24 pssdifn0 4087 . . . . . . 7 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
26 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
2726, 6, 2metdscn2 22881 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2810, 11, 25, 27syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292, 8, 9, 28fsumcn 22894 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
301, 29syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
312cnfldtopon 22807 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
34 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 22981 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
36 frn 6214 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
38 rpssre 12056 . . . . 5 + ⊆ ℝ
3937, 38syl6ss 3756 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
40 ax-resscn 10205 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42 cnrest2 21312 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4332, 39, 41, 42syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4430, 43mpbid 222 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
45 lebnumlem2.k . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
462tgioo2 22827 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4745, 46eqtri 2782 . . 3 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4847oveq2i 6825 . 2 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4944, 48syl6eleqr 2850 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  wss 3715  c0 4058   cuni 4588  cmpt 4881  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  infcinf 8514  cc 10146  cr 10147  *cxr 10285   < clt 10286  +crp 12045  (,)cioo 12388  Σcsu 14635  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  ∞Metcxmt 19953  Metcme 19954  MetOpencmopn 19958  fldccnfld 19968  TopOnctopon 20937   Cn ccn 21250  Compccmp 21411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22983
  Copyright terms: Public domain W3C validator