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Theorem lebnumii 22984
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 22982 to the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑈

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 22899 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
2 cnmet 22794 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 unitssre 12525 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 ax-resscn 10194 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3759 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
6 metres2 22387 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 664 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
9 iicmp 22908 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → II ∈ Comp)
11 simpl 468 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → 𝑈 ⊆ II)
12 simpr 471 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (0[,]1) = 𝑈)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 22982 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)
14 rpreccl 12059 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1514adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1615rpred 12074 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
1715rpge0d 12078 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑟))
18 flge0nn0 12828 . . . . . 6 (((1 / 𝑟) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑟)) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2anc 565 . . . . 5 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 11533 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
22 elfznn 12576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2423nnrpd 12072 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2521adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2625nnrpd 12072 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 12091 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12074 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 12078 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
30 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3130adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3225nnred 11236 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 10269 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℂ)
3433mulid1d 10258 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3531, 34breqtrrd 4812 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1))
3623nnred 11236 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 1re 10240 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
3925nngt0d 11265 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
40 ledivmul 11100 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4136, 38, 32, 39, 40syl112anc 1479 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4235, 41mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)
43 0re 10241 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
4443, 37elicc2i 12443 . . . . . . . 8 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1))
4528, 29, 42, 44syl3anbrc 1427 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1))
46 oveq1 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
4746sseq1d 3779 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4847rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4948rspcv 3454 . . . . . . 7 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
5045, 49syl 17 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
51 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5251rpred 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5328, 52resubcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 10290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ*)
5528, 52readdcld 10270 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ)
5655rexrd 10290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*)
57 nnm1nn0 11535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5958nn0red 11553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
6059, 25nndivred 11270 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
6136recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
6259recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
6325nnne0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ≠ 0)
6461, 62, 33, 63divsubdird 11041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
65 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
66 nncan 10511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6761, 65, 66sylancl 566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6867oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6964, 68eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
7051rprecred 12085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
71 flltp1 12808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑟) ∈ ℝ → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
73 rpgt0 12046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
7473ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < 𝑟)
75 ltdiv23 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7638, 52, 74, 32, 39, 75syl122anc 1484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7772, 76mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟)
7869, 77eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) < 𝑟)
7928, 60, 52, 78ltsub23d 10833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
8028, 51ltaddrpd 12107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))
81 iccssioo 12446 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
8254, 56, 79, 80, 81syl22anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
83 0red 10242 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ∈ ℝ)
8458nn0ge0d 11555 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 − 1))
85 divge0 11093 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
8659, 84, 32, 39, 85syl22anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
87 iccss 12445 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8883, 38, 86, 42, 87syl22anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8982, 88ssind 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
90 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
9190rexmet 22813 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
93 sseqin2 3966 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
943, 93mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9545, 94syl6eleqr 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
96 rpxr 12042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9796ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
98 xpss12 5264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) ⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ))
993, 3, 98mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ)
100 resabs1 5568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
102101eqcomi 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
103102blres 22455 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10492, 95, 97, 103syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10590bl2ioo 22814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
10628, 52, 105syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
107106ineq1d 3962 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
108104, 107eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
10989, 108sseqtr4d 3789 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
110 sstr2 3757 . . . . . . . 8 ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
111109, 110syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
112111reximdv 3163 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
11350, 112syld 47 . . . . 5 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
114113ralrimdva 3117 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
115 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
116 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
117 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
118116, 117oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
119118sseq1d 3779 . . . . . . 7 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
120119rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
121115, 120raleqbidv 3300 . . . . 5 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
122121rspcev 3458 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
12321, 114, 122syl6an 655 . . 3 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
124123rexlimdva 3178 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
12513, 124mpd 15 1 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  cin 3720  wss 3721   cuni 4572   class class class wbr 4784   × cxp 5247  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  0cn0 11493  +crp 12034  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  cfl 12798  abscabs 14181  ∞Metcxmt 19945  Metcme 19946  ballcbl 19947  Compccmp 21409  IIcii 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-ii 22899
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  31612
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