MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnum 22810
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 lebnum.s . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
3 lebnum.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22186 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 lebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopnuni 22293 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
9 lebnum.u . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑈)
108, 9eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 𝐽 = 𝑈)
11 eqid 2651 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cmpcov 21240 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈𝐽 𝐽 = 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
131, 2, 10, 12syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) 𝐽 = 𝑤)
14 1rp 11874 . . . 4 1 ∈ ℝ+
15 inss1 3866 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑈
16 simprl 809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
1715, 16sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
1817elpwid 4203 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤𝑈)
1918ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑤𝑈)
20 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑤)
2119, 20sseldd 3637 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑈)
225ad3antrrr 766 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 rpxr 11878 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
2514, 24mp1i 13 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
26 blssm 22270 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
28 sseq2 3660 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
2928rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3021, 27, 29syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
3130ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
32 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
3332sseq1d 3665 . . . . . . 7 (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3433rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3534ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
3635rspcev 3340 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
3714, 31, 36sylancr 696 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
383ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
391ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
4018adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝑈)
412ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑈𝐽)
4240, 41sstrd 3646 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤𝐽)
438ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝐽)
44 simplrr 818 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝐽 = 𝑤)
4543, 44eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑋 = 𝑤)
46 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ Fin
4746, 16sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
4847adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
49 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ¬ 𝑋𝑤)
50 eqid 2651 . . . . 5 (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
51 eqid 2651 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 22809 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
53 ssrexv 3700 . . . . . . 7 (𝑤𝑈 → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5440, 53syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5554ralimdv 2992 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5655reximdv 3045 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5752, 56mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5837, 57pm2.61dan 849 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5913, 58rexlimddv 3064 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  infcinf 8388  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  +crp 11870  (,)cioo 12213  Σcsu 14460  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  Compccmp 21237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  xlebnum  22811  lebnumii  22812
  Copyright terms: Public domain W3C validator