Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat2 35102
Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leatb 35100 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
6 orcom 401 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
7 neor 3023 . . . . . 6 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
86, 7bitri 264 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
95, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
109biimpd 219 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 → (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
1110com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋0 → (𝑋 𝑃𝑋 = 𝑃)))
1211imp32 448 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  0.cp0 17258  OPcops 34980  Atomscatm 35071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-glb 17196  df-p0 17260  df-oposet 34984  df-covers 35074  df-ats 35075
This theorem is referenced by:  dalemcea  35467  cdlemg12g  36457
  Copyright terms: Public domain W3C validator