MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leaddsub 10542
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 10536 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
213com13 1289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
3 resubcl 10383 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
4 ltnle 10155 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
53, 4stoic3 1741 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
653com13 1289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
7 readdcl 10057 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 ltnle 10155 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
97, 8sylan2 490 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
1093impb 1279 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
11103coml 1292 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
122, 6, 113bitr3rd 299 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
1312con4bid 306 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  leaddsub2  10543  lesub  10545  lesub2  10561  subge0  10579  lesub3d  10683  div4p1lem1div2  11325  eluzp1m1  11749  eluzsubi  11753  fzen  12396  fznatpl1  12433  expmulnbnd  13036  hashdvds  15527  sylow1lem5  18063  gsumbagdiaglem  19423  voliunlem2  23365  itg2split  23561  dvfsumlem3  23836  pilem2  24251  logimul  24405  emcllem2  24768  chtublem  24981  dchrisum0re  25247  pntlemg  25332  crctcshwlkn0  26769  logdivsqrle  30856  poimirlem7  33546  totbndbnd  33718  binomcxplemnn0  38865  fmtnodvds  41781  lighneallem4a  41850  nnolog2flm1  42709
  Copyright terms: Public domain W3C validator