Theorem leadd2dd 10854

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 10834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℝcr 10147   + caddc 10151   ≤ cle 10287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11558  expmulnbnd  13210  discr1  13214  hashun2  13384  abstri  14289  iseraltlem2  14632  prmreclem4  15845  tchcphlem1  23254  trirn  23403  nulmbl2  23524  voliunlem1  23538  uniioombllem4  23574  itg2split  23735  ulmcn  24372  abslogle  24584  emcllem2  24943  lgambdd  24983  chtublem  25156  chtub  25157  logfaclbnd  25167  bcmax  25223  chebbnd1lem2  25379  rplogsumlem1  25393  selberglem2  25455  selbergb  25458  chpdifbndlem1  25462  pntpbnd1a  25494  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntibndlem3  25501  pntlemg  25507  pntlemr  25511  pntlemk  25515  pntlemo  25516  ostth2lem3  25544  smcnlem  27882  minvecolem3  28062  staddi  29435  stadd3i  29437  nexple  30401  fsum2dsub  31015  resconn  31556  itg2addnc  33795  ftc1anclem8  33823  pell1qrgaplem  37957  leadd12dd  40048  ioodvbdlimc1lem2  40668  stoweidlem11  40749  stoweidlem26  40764  stirlinglem8  40819  stirlinglem12  40823  fourierdlem4  40849  fourierdlem10  40855  fourierdlem42  40887  fourierdlem47  40891  fourierdlem72  40916  fourierdlem79  40923  fourierdlem93  40937  fourierdlem101  40945  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem111  40955  hoidmv1lelem2  41330  vonioolem2  41419  vonicclem2  41422  p1lep2  41842  fmtnodvds  41984  lighneallem4a  42053