MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd1dd 10679
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leadd1dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4leadd1d 10659 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  lesub3d  10683  supaddc  11028  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  xleadd1a  12121  fzoaddel  12560  fladdz  12666  ltdifltdiv  12675  bernneq3  13032  caucvgrlem  14447  eirrlem  14976  vdwlem3  15734  vdwlem9  15740  vdwlem10  15741  2expltfac  15846  pcoass  22870  trirn  23229  minveclem2  23243  ovolfiniun  23315  ovolshftlem1  23323  unmbl  23351  uniioombllem5  23401  opnmbllem  23415  vitalilem2  23423  itg2split  23561  dvfsumlem2  23835  dvfsumlem4  23837  dvfsum2  23842  fta1glem2  23971  coemullem  24051  fta1lem  24107  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  jensenlem2  24759  harmonicubnd  24781  harmonicbnd4  24782  lgamgulmlem5  24804  lgambdd  24808  ppiub  24974  bcmono  25047  bposlem5  25058  mulog2sumlem2  25269  selberg2lem  25284  chpdifbndlem1  25287  pntrlog2bndlem2  25312  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntlemg  25332  pntlemk  25340  pntlemo  25341  qabvle  25359  ostth2lem3  25369  minvecolem2  27859  nndiffz1  29676  reofld  29968  dya2icoseg  30467  resconn  31354  poimirlem15  33554  opnmbllem0  33575  itg2addnclem3  33593  bfplem2  33752  pellexlem2  37711  rmygeid  37848  jm3.1lem2  37902  fzisoeu  39828  absnpncan2d  39830  absnpncan3d  39835  leadd12dd  39845  iccshift  40062  fsumnncl  40121  climsuselem1  40157  sumnnodd  40180  climleltrp  40226  dvbdfbdioolem2  40462  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnmul  40476  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  itgiccshift  40514  itgperiod  40515  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem14  40549  stoweidlem26  40561  stoweidlem44  40579  stirlinglem11  40619  fourierdlem10  40652  fourierdlem11  40653  fourierdlem15  40657  fourierdlem30  40672  fourierdlem42  40684  fourierdlem68  40709  fourierdlem79  40720  fourierdlem92  40733  sge0xaddlem1  40968  carageniuncllem2  41057  hoidmv1lelem1  41126  ovolval5lem1  41187  smfmullem1  41319
  Copyright terms: Public domain W3C validator