MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2addd 10834
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 le2add 10698 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1478 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 717 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2135   class class class wbr 4800  (class class class)co 6809  cr 10123   + caddc 10127  cle 10263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268
This theorem is referenced by:  supadd  11179  o1add  14539  o1sub  14541  o1fsum  14740  sadcaddlem  15377  4sqlem11  15857  4sqlem12  15858  4sqlem15  15861  4sqlem16  15862  prdsxmetlem  22370  nrmmetd  22576  nmotri  22740  pcoass  23020  minveclem2  23393  ovollb2lem  23452  ovolunlem1a  23460  ovoliunlem1  23466  nulmbl2  23500  ioombl1lem4  23525  uniioombllem5  23551  itg2splitlem  23710  itg2addlem  23720  ibladdlem  23781  ulmbdd  24347  cxpaddle  24688  ang180lem2  24735  fsumharmonic  24933  lgamgulmlem3  24952  lgamgulmlem5  24954  ppiub  25124  lgsdirprm  25251  lgsqrlem2  25267  lgseisenlem2  25296  2sqlem8  25346  vmadivsumb  25367  dchrisumlem2  25374  dchrisum0lem1b  25399  mulog2sumlem1  25418  mulog2sumlem2  25419  selbergb  25433  selberg2b  25436  chpdifbndlem1  25437  logdivbnd  25440  selberg3lem2  25442  pntrlog2bnd  25468  pntpbnd2  25471  pntibndlem2  25475  pntlemr  25486  ostth2lem2  25518  ostth3  25522  smcnlem  27857  minvecolem2  28036  stadd3i  29412  le2halvesd  29825  dnibndlem9  32778  ismblfin  33759  itg2addnc  33773  ibladdnclem  33775  ftc1anclem7  33800  pell1qrgaplem  37935  pellqrex  37941  pellfundgt1  37945  areaquad  38300  imo72b2lem0  38963  int-ineq1stprincd  38993  dvdivbd  40637  fourierdlem30  40853  sge0xaddlem2  41150  carageniuncllem2  41238
  Copyright terms: Public domain W3C validator