Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualgrplem 34935
 Description: Lemma for ldualgrp 34936. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p + = ∘𝑓 (+g𝑊)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t × = (.r𝑅)
ldualgrp.o 𝑂 = (oppr𝑅)
ldualgrp.s · = ( ·𝑠𝐷)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (𝜑𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 ldualgrp.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 34916 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
65eqcomd 2766 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐷))
7 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
8 eqid 2760 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
943ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑥𝐹)
11 simp3 1133 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑦𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 34920 . 2 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
154adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑦𝐹)
17 simpr3 1238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 34919 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
1918oveq2d 6829 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥𝑓 (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)))
20 simpr1 1234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑥𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 34920 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 34919 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 34920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 34919 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 34919 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
2625oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑧) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 34863 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑧) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2805 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
30 eqid 2760 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3213, 30, 31, 1lfl0f 34859 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
344adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3533adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 34919 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑥))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 34864 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3937, 38eqtrd 2794 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = 𝑥)
40 eqid 2760 . . 3 (invg𝑅) = (invg𝑅)
41 eqid 2760 . . 3 (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) = (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 34865 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 34919 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑥))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 34866 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
4543, 44eqtrd 2794 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 17645 1 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  opprcoppr 18822  LModclmod 19065  LFnlclfn 34847  LDualcld 34913 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lfl 34848  df-ldual 34914 This theorem is referenced by:  ldualgrp  34936
 Copyright terms: Public domain W3C validator