Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldilcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldilcnv 35719
 Description: The converse of a lattice dilation is a lattice dilation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilcnv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilcnv.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldilcnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)

Proof of Theorem ldilcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐾 ∈ HL)
2 ldilcnv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldilcnv.d . . . 4 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 35715 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
63lautcnv 35694 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
71, 5, 6syl2anc 694 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
108, 9, 2, 4ldilval 35717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
11103expa 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
12113impb 1279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
1312fveq2d 6233 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
148, 2, 4ldil1o 35716 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15143ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 simp2 1082 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
17 f1ocnvfv1 6572 . . . . . 6 ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1815, 16, 17syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
1913, 18eqtr3d 2687 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
20193exp 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
2120ralrimiv 2994 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
228, 9, 2, 3, 4isldil 35714 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
2322adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
247, 21, 23mpbir2and 977 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685  ◡ccnv 5142  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LAutclaut 35589  LDilcldil 35704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-laut 35593  df-ldil 35708 This theorem is referenced by:  ltrncnv  35750
 Copyright terms: Public domain W3C validator