Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldgenpisyslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldgenpisyslem3 30568
 Description: Lemma for ldgenpisys 30569. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem3.1 (𝜑𝐴𝑇)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem3 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . 2 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . 2 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . 2 (𝜑𝑂𝑉)
4 ldgenpisys.e . 2 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
5 ldgenpisys.1 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
76rgenw 3073 . . . . 5 𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
8 ssintrab 4635 . . . . 5 (𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡))
97, 8mpbir 221 . . . 4 𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡}
109, 4sseqtr4i 3787 . . 3 𝑇𝐸
11 ldgenpisyslem3.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑇)
1210, 11sseldi 3750 . 2 (𝜑𝐴𝐸)
131ispisys 30555 . . . . . . 7 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
145, 13sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
1514simpld 482 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16 elpwi 4308 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
185adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
1911adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝐴𝑇)
20 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
211inelpisys 30557 . . . . . . 7 ((𝑇𝑃𝐴𝑇𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2310, 22sseldi 3750 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2423ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2517, 24jca 501 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
26 ssrab 3829 . . 3 (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
2725, 26sylibr 224 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
281, 2, 3, 4, 5, 12, 27ldgenpisyslem2 30567 1 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4298  ∪ cuni 4575  ∩ cint 4612  Disj wdisj 4755   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  ωcom 7216   ≼ cdom 8111  ficfi 8476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196 This theorem is referenced by:  ldgenpisys  30569
 Copyright terms: Public domain W3C validator