Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsprlem 42786
Description: Lemma for ldepspr 42787. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
ldepsprlem.1 1 = (1r𝑅)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6799 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
21oveq1d 6806 . . 3 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6lmod1cl 19106 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 1𝑆)
87adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 1𝑆)
9 simpr3 1235 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝐴𝑆)
10 simpr2 1233 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑌𝐵)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
13 eqid 2769 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 19104 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1𝑆𝐴𝑆𝑌𝐵)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1476 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
1615eqcomd 2775 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌))
1716oveq1d 6806 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
184lmodring 19087 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
205, 13, 6ringlidm 18785 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑆) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 496 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 6806 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
2322oveq1d 6806 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
244lmodfgrp 19088 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
265, 25grpinvcl 17681 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 496 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
28 eqid 2769 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
29 eqid 2769 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 19103 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆𝑌𝐵)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1476 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
335, 29, 32, 25grprinv 17683 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 496 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3534oveq1d 6806 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑀)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 19112 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38373ad2antr2 1202 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2803 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2809 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2803 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2825 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4342ex 448 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  cfv 6030  (class class class)co 6791  Basecbs 16070  +gcplusg 16155  .rcmulr 16156  Scalarcsca 16158   ·𝑠 cvsca 16159  0gc0g 16314  Grpcgrp 17636  invgcminusg 17637  1rcur 18715  Ringcrg 18761  LModclmod 19079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-plusg 16168  df-0g 16316  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-lmod 19081
This theorem is referenced by:  ldepspr  42787
  Copyright terms: Public domain W3C validator