Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepspr 42587
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
ldepspr ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1078 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
21ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
3 fvex 6239 . . . . . . . 8 (1r𝑅) ∈ V
4 fvex 6239 . . . . . . . 8 ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
87ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 fprg 6462 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
102, 6, 8, 9syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
11 prfi 8276 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 fvex 6239 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
1513, 14eqeltri 2726 . . . . . 6 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
1710, 12, 16fdmfifsupp 8326 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
187anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
22 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2320, 21, 22lmod1cl 18938 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
24 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝐵)
2523, 24anim12ci 590 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
2625adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
27 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑌𝐵)
2827ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
2920lmodfgrp 18920 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
31 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴𝑆)
32 eqid 2651 . . . . . . . 8 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3321, 32grpinvcl 17514 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
3430, 31, 33syl2an 493 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
35 snlindsntor.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
37 eqid 2651 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
38 eqid 2651 . . . . . . 7 {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 42532 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1370 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
41 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
4224ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
4331adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴𝑆)
4442, 28, 433jca 1261 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆))
4541, 44jca 553 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)))
46 simprr 811 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
47 snlindsntor.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 42586 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
4945, 46, 48sylc 65 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
5040, 49eqtrd 2685 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
5120lmodring 18919 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
52 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((1r𝑅) = (0g𝑅) ↔ (0g𝑅) = (1r𝑅))
53 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5421, 53, 2201eq0ring 19320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → 𝑆 = {(0g𝑅)})
55 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → {(0g𝑅)} = {(1r𝑅)})
5655eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r𝑅)}))
57 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆𝐴 ∈ {(1r𝑅)}))
58 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → 𝐴 = (1r𝑅))
59 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
6059eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌)))
6127anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌𝐵𝑀 ∈ LMod))
6261ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
6335, 20, 36, 22lmodvs1 18939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6564eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
66 eqneqall 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68673ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
7065, 69sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7271com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7360, 72syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7458, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7557, 74syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7675impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7776com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7856, 77syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8180ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) = (1r𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8252, 81syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8382com25 99 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8451, 83mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8584imp31 447 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
86 orc 399 . . . . . . . 8 (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8785, 86pm2.61d1 171 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8813eqeq2i 2663 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = 0 ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅))
8988necon3abii 2869 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r𝑅) = (0g𝑅))
9089orbi1i 541 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
9187, 90sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
92 fvexd 6241 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ V)
93 fvpr1g 6499 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9442, 92, 8, 93syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9594neeq1d 2882 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
96 fvexd 6241 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
97 fvpr2g 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9828, 96, 8, 97syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9998neeq1d 2882 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
10095, 99orbi12d 746 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
10191, 100mpbird 247 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
102 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
103102neeq1d 2882 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
104 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
105104neeq1d 2882 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
106103, 105rexprg 4267 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
1072, 106syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
108101, 107mpbird 247 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
10923adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
110109adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
111 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
11221, 111eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
1138, 112jctir 560 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝑌𝑆 ∈ V))
11438mapprop 42449 . . . . . 6 (((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋𝑌𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌}))
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1377 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌}))
116 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
117 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
118117eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
119 fveq1 6228 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
120119neeq1d 2882 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
121120rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
122116, 118, 1213anbi123d 1439 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
123122adantl 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
124115, 123rspcedv 3344 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
12517, 50, 108, 124mp3and 1467 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ))
126 prelpwi 4945 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
1271263adant3 1101 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
128127ad2antlr 763 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 42567 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
13041, 128, 129syl2anc 694 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
131125, 130mpbird 247 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
132131ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  1rcur 18547  Ringcrg 18593  LModclmod 18911   linC clinc 42518   linDepS clindeps 42555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-linc 42520  df-lininds 42556  df-lindeps 42558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator