Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 42823
 Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 42826. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8048 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 5059 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2836 . . . 4 𝐵 ∈ V
54fsn2 6568 . . 3 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}))
6 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
76adantl 473 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 42661 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 476 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 11622 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
13 4z 11624 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
148zlmodzxzel 42662 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1512, 13, 14mp2an 710 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
162, 15eqeltri 2836 . . . . . . 7 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18 simpl 474 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
209simpri 481 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
21 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22 eqid 2761 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 42734 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
257, 24eqtrd 2795 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
26 eqid 2761 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2761 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 42815 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30 r19.26 3203 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31 oveq1 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐵) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
3231neeq1d 2992 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐵) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3332rspcv 3446 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34 zringbas 20047 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3534eqcomi 2770 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3635eleq2i 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3736biimpi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3933, 38syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4039adantl 473 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4130, 40sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4229, 41ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
4325, 42eqnetrd 3000 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
445, 43sylbi 207 . 2 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
451, 44syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∀wral 3051  Vcvv 3341  {csn 4322  {cpr 4324  ⟨cop 4328  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  0cc0 10149  1c1 10150  2c2 11283  3c3 11284  4c4 11285  6c6 11287  ℤcz 11590  Basecbs 16080  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  -gcsg 17646  LModclmod 19086  ℤringzring 20041   freeLMod cfrlm 20313   linC clinc 42722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-prm 15609  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-cnfld 19970  df-zring 20042  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-linc 42724 This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42826
 Copyright terms: Public domain W3C validator