Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvpss 34731
Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 29374 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvfbr.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvfbr.w (𝜑𝑊𝑋)
lcvfbr.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvfbr.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvpss.d (𝜑𝑇𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvpss (𝜑𝑇𝑈)

Proof of Theorem lcvpss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvpss.d . . 3 (𝜑𝑇𝐶𝑈)
2 lcvfbr.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lcvfbr.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
4 lcvfbr.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑋)
5 lcvfbr.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
6 lcvfbr.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
72, 3, 4, 5, 6lcvbr 34728 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈))))
81, 7mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈)))
98simpld 477 1 (𝜑𝑇𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wrex 3015  wpss 3681   class class class wbr 4760  cfv 6001  LSubSpclss 19055  L clcv 34725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fv 6009  df-lcv 34726
This theorem is referenced by:  lcvntr  34733  lcvat  34737  lsatcveq0  34739  lsat0cv  34740  lcvexchlem4  34744  lcvexchlem5  34745  lcv1  34748  lsatexch  34750  lsatcvat2  34758  islshpcv  34760
  Copyright terms: Public domain W3C validator