Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem2 34844
 Description: Lemma for lcvexch 34848. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.r (𝜑𝑅𝑆)
lcvexch.a (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b (𝜑𝑅𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem2 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19181 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
64, 5sseldd 3746 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
84, 7sseldd 3746 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
104, 9sseldd 3746 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lcvexch.b . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
12 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1312lsmmod 18309 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅𝑈) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1480 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
152lssincl 19188 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
161, 7, 9, 15syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
174, 16sseldd 3746 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lcvexch.a . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
1912lsmss2 18302 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
206, 17, 18, 19syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
2114, 20eqtr3d 2797 1 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  SubGrpcsubg 17810  LSSumclsm 18270  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155   ⋖L clcv 34827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-lsm 18272  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-lmod 19088  df-lss 19156 This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  34846
 Copyright terms: Public domain W3C validator