Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosslsp 42745
Description: Lemma for lspeqlco 42746. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lspeqvlco.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
lcosslsp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellcoellss 42742 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)
213exp 1111 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
32ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
43imp 393 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠))
5 elequ1 2151 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑠𝑥𝑠))
65rspcv 3454 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
76ad2antlr 698 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
84, 7syld 47 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠𝑥𝑠))
98ralrimiva 3114 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
10 vex 3352 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1110elintrab 4621 . . . . 5 (𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
129, 11sylibr 224 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
13 simpll 742 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14 elpwi 4305 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
1514ad2antlr 698 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉𝐵)
16 lspeqvlco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2770 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18 eqid 2770 . . . . . 6 (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
1916, 17, 18lspval 19187 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2013, 15, 19syl2anc 565 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2112, 20eleqtrrd 2852 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
2221ex 397 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
2322ssrdv 3756 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  wss 3721  𝒫 cpw 4295   cint 4609  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183   LinCo clinco 42712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-linc 42713  df-lco 42714
This theorem is referenced by:  lspeqlco  42746
  Copyright terms: Public domain W3C validator