MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 18951
Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 8323 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 18950 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
13 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼𝐾𝐺 Fn 𝐼)
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
16 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐼𝐵𝐻 Fn 𝐼)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1910adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
21 fnfvof 6953 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2215, 18, 19, 20, 21syl22anc 1367 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2312, 22sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
24 ssid 3657 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
26 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
27 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) ∈ V
2826, 27eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
308, 25, 10, 29suppssr 7371 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
3130oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
327adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
339ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
34 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
356, 3, 5, 26, 34lmod0vs 18944 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3632, 33, 35syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3712, 36sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3823, 31, 373eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3911, 38suppss 7370 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
40 ssfi 8221 . . 3 (((𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
412, 39, 40syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
42 inidm 3855 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
4314, 17, 10, 10, 42offn 6950 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
44 fnfun 6026 . . . 4 ((𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
46 ovexd 6720 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V)
47 fvex 6239 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
4834, 47eqeltri 2726 . . . 4 0 ∈ V
4948a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
50 funisfsupp 8321 . . 3 ((Fun (𝐺𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5241, 51mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607   class class class wbr 4685  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LModclmod 18911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-supp 7341  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ring 18595  df-lmod 18913
This theorem is referenced by:  islindf4  20225
  Copyright terms: Public domain W3C validator