MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmledvds 15526
Description: A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmledvds (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Proof of Theorem lcmledvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmn0val 15522 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
213adantl1 1169 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
32adantr 473 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
4 breq2 4787 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑀𝑛𝑀𝐾))
5 breq2 4787 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁𝑛𝑁𝐾))
64, 5anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
76elrab 3512 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
8 ssrab2 3833 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ ℕ
9 nnuz 11924 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 3783 . . . . . . . . 9 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1)
11 infssuzle 11973 . . . . . . . . 9 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1210, 11mpan 705 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
137, 12sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1413ex 448 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
15143ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1615adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1716imp 443 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
183, 17eqbrtrd 4805 . 2 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾)
1918ex 448 1 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  {crab 3063  wss 3720   class class class wbr 4783  cfv 6030  (class class class)co 6791  infcinf 8501  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   < clt 10274  cle 10275  cn 11220  cz 11577  cuz 11887  cdvds 15194   lcm clcm 15515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-lcm 15517
This theorem is referenced by:  lcmneg  15530  lcmftp  15563  lcmfunsnlem2lem1  15565
  Copyright terms: Public domain W3C validator