MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmid 15545
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 oveq2 6823 . . 3 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
2 fveq2 6354 . . . 4 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3 abs0 14245 . . . 4 (abs‘0) = 0
42, 3syl6eq 2811 . . 3 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
51, 4eqeq12d 2776 . 2 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
6 lcmcl 15537 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11566 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
87anidms 680 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
98adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
10 zabscl 14273 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1110zcnd 11696 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
13 zcn 11595 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1413adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15 simpr 479 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
1614, 15absne0d 14406 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17 lcmgcd 15543 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
1817anidms 680 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
19 gcdid 15471 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2019oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
2113, 13absmuld 14413 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2218, 20, 213eqtr3d 2803 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2322adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
249, 12, 12, 16, 23mulcan2ad 10876 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
25 lcm0val 15530 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
265, 24, 25pm2.61ne 3018 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149   · cmul 10154  cz 11590  abscabs 14194   gcd cgcd 15439   lcm clcm 15524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-lcm 15526
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  15548  lcmfsn  15571
  Copyright terms: Public domain W3C validator