MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfledvds 15552
Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfledvds ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfn0val 15543 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
21adantr 466 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
3 ssrab2 3834 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ ℕ
4 nnuz 11924 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4sseqtri 3784 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1)
6 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
7 breq2 4788 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑚𝑘𝑚𝐾))
87ralbidv 3134 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
98elrab 3513 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
106, 9sylibr 224 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘})
11 infssuzle 11973 . . . . 5 (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
125, 10, 11sylancr 567 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13123ad2antl1 1199 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
142, 13eqbrtrd 4806 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)
1514ex 397 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wnel 3045  wral 3060  {crab 3064  wss 3721   class class class wbr 4784  cfv 6031  Fincfn 8108  infcinf 8502  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   < clt 10275  cle 10276  cn 11221  cz 11578  cuz 11887  cdvds 15188  lcmclcmf 15509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842  df-dvds 15189  df-lcmf 15511
This theorem is referenced by:  lcmf  15553  lcmflefac  15568
  Copyright terms: Public domain W3C validator