Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfdvds 15478
 Description: The least common multiple of a set of integers divides any integer which is divisible by all elements of the set. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4764 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑚𝑘𝑚𝐾))
21ralbidv 3088 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
3 breq2 4764 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → ((lcm𝑍) ∥ 𝑘 ↔ (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
42, 3imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ∥ 𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾)))
54rspcv 3409 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ∥ 𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾)))
65com12 32 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ∥ 𝑘) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾)))
76adantr 472 . . 3 ((∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm𝑍) lcm 𝑛)) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾)))
8 lcmfunsnlem 15477 . . 3 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm𝑍) lcm 𝑛)))
97, 8syl11 33 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾)))
1093impib 1108 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014   ∪ cun 3678   ⊆ wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  ℤcz 11490   ∥ cdvds 15103   lcm clcm 15424  lcmclcmf 15425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-prod 14756  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-lcm 15426  df-lcmf 15427 This theorem is referenced by:  lcmfdvdsb  15479
 Copyright terms: Public domain W3C validator