Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrs2 37350
Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 37438. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrs2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lclkrs2.r 𝑅 = {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrs2.q (𝜑𝑄𝑆)
Assertion
Ref Expression
lclkrs2 (𝜑 → (𝑅𝑇𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2
StepHypRef Expression
1 lclkrs2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrs2.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrs2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrs2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 lclkrs2.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lclkrs2.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lclkrs2.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lclkrs2.t . . 3 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9 lclkrs2.r . . 3 𝑅 = {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10 lclkrs2.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lclkrs2.q . . 3 (𝜑𝑄𝑆)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lclkrs 37349 . 2 (𝜑𝑅𝑇)
13 simpl 468 . . . . 5 ((( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔))
1413a1i 11 . . . 4 (𝑔𝐹 → ((( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)))
1514ss2rabi 3833 . . 3 {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
16 lclkrs2.c . . . 4 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
17 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → (𝐿𝑓) = (𝐿𝑔))
1817fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝑔)))
1918fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = ( ‘( ‘(𝐿𝑔))))
2019, 17eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)))
2120cbvrabv 3349 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2216, 21eqtri 2793 . . 3 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2315, 9, 223sstr4i 3793 . 2 𝑅𝐶
2412, 23jctir 510 1 (𝜑 → (𝑅𝑇𝑅𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723  cfv 6031  LSubSpclss 19142  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  LDualcld 34932  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205
This theorem is referenced by:  mapd1o  37458
  Copyright terms: Public domain W3C validator