Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2y Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2y 37340
Description: Lemma for lclkr 37342. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2y.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2y.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2y.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2y.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2y.le (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
lclkrlem2y.lg (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2y (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2y.lg . . 3 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
2 lclkrlem2y.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lclkrlem2y.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2y.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6 lclkrlem2y.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lclkrlem2y.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 lclkrlem2y.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 lclkrlem2y.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl8a 37312 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})))
111, 10mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}))
12 lclkrlem2y.le . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
13 lclkrlem2y.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝐹)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13lcfl8a 37312 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥})))
1512, 14mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}))
16 lclkrlem2y.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17 lclkrlem2y.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐷)
1883ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simp21 1249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20 simp23 1251 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21133ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝐸𝐹)
2293ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝐺𝐹)
23 simp22 1250 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}))
24 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}))
257, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2x 37339 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26253exp 1113 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27263expd 1447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
2827rexlimdv 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
2915, 28mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
3029rexlimdv 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
3111, 30mpd 15 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893  LDualcld 34931  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  ocHcoch 37156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204
This theorem is referenced by:  lclkrlem2  37341
  Copyright terms: Public domain W3C validator