Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2v 37236
 Description: Lemma for lclkr 37241. When the hypotheses of lclkrlem2u 37235 and lclkrlem2u 37235 are negated, the functional sum must be zero, so the kernel is the vector space. We make use of the law of excluded middle, dochexmid 37176, which requires the orthomodular law dihoml4 37085 (Lemma 3.3 of [Holland95] p. 214). (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2v.j (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2v.k (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2v (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)

Proof of Theorem lclkrlem2v
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
3 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
4 lclkrlem2o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 lclkrlem2o.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lclkrlem2o.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 36818 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+g𝐷)
10 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
11 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
122, 8, 9, 7, 10, 11ldualvaddcl 34837 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
131, 2, 3, 7, 12lkrssv 34803 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
14 lclkrlem2o.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2724 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16 lclkrlem2o.a . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
17 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18 lclkrlem2m.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
19 lclkrlem2m.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
201, 15, 17, 7, 18, 19lspprcl 19101 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21 eqid 2724 . . . . . 6 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
224, 5, 1, 17, 21, 6, 18, 19dihprrn 37134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
231, 15lssss 19060 . . . . . . 7 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑉)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑉)
254, 21, 5, 1, 14, 6, 24dochoccl 37077 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ ( ‘( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2622, 25mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
274, 14, 5, 1, 15, 16, 6, 20, 26dochexmid 37176 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) = 𝑉)
28 lclkrlem2m.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
29 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
30 lclkrlem2m.q . . . . 5 × = (.r𝑆)
31 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0g𝑆)
32 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑆)
33 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
344, 5, 6dvhlvec 36817 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
35 lclkrlem2v.j . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
36 lclkrlem2v.k . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
371, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 2, 8, 9, 18, 19, 10, 11, 17, 3, 34, 35, 36lclkrlem2n 37228 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3818snssd 4448 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
3919snssd 4448 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
404, 5, 1, 14dochdmj1 37098 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
416, 38, 39, 40syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
42 df-pr 4288 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
4342fveq2i 6307 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
4443fveq2i 6307 . . . . . . 7 ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) = ( ‘(𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
4538, 39unssd 3897 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
464, 5, 14, 1, 17, 6, 45dochocsp 37087 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))) = ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
4744, 46syl5eq 2770 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) = ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
48 lclkrlem2q.le . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
49 lclkrlem2q.lg . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
5048, 49ineq12d 3923 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
5141, 47, 503eqtr4d 2768 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) = ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)))
522, 3, 8, 9, 7, 10, 11lkrin 34871 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
5351, 52eqsstrd 3745 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
5415lsssssubg 19081 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
557, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
5655, 20sseldd 3710 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
574, 5, 1, 15, 14dochlss 37062 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
586, 24, 57syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5955, 58sseldd 3710 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑈))
602, 3, 15lkrlss 34802 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
617, 12, 60syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6255, 61sseldd 3710 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6316lsmlub 18199 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
6456, 59, 62, 63syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
6537, 53, 64mpbi2and 994 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ( ‘(𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
6627, 65eqsstr3d 3746 . 2 (𝜑𝑉 ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
6713, 66eqssd 3726 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ∪ cun 3678   ∩ cin 3679   ⊆ wss 3680  {csn 4285  {cpr 4287  ran crn 5219  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  .rcmulr 16065  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  0gc0g 16223  -gcsg 17546  SubGrpcsubg 17710  LSSumclsm 18170  invrcinvr 18792  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  LSpanclspn 19094  LFnlclfn 34764  LKerclk 34792  LDualcld 34830  HLchlt 35057  LHypclh 35690  DVecHcdvh 36786  DIsoHcdih 36936  ocHcoch 37055 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-riotaBAD 34659 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-undef 7519  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-0g 16225  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-oppg 17897  df-lsm 18172  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-dvr 18804  df-drng 18872  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-lvec 19226  df-lsatoms 34683  df-lcv 34726  df-lfl 34765  df-lkr 34793  df-ldual 34831  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-llines 35204  df-lplanes 35205  df-lvols 35206  df-lines 35207  df-psubsp 35209  df-pmap 35210  df-padd 35502  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866  df-tgrp 36450  df-tendo 36462  df-edring 36464  df-dveca 36710  df-disoa 36737  df-dvech 36787  df-dib 36847  df-dic 36881  df-dih 36937  df-doch 37056  df-djh 37103 This theorem is referenced by:  lclkrlem2w  37237
 Copyright terms: Public domain W3C validator