Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2m 37322
Description: Lemma for lclkr 37336. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2m.w (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2m (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.b . . 3 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2 lclkrlem2m.w . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3 lveclmod 19318 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19079 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
7 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
98lmodring 19080 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
11 lclkrlem2m.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12 lclkrlem2m.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lclkrlem2m.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐷)
14 lclkrlem2m.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝐹)
15 lclkrlem2m.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
1611, 12, 13, 4, 14, 15ldualvaddcl 34932 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
198, 17, 18, 11lflcl 34866 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑋𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
202, 16, 7, 19syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
218lvecdrng 19317 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
222, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
23 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
248, 17, 18, 11lflcl 34866 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑌𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
252, 16, 23, 24syl3anc 1475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26 lclkrlem2m.n . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27 lclkrlem2m.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
28 lclkrlem2m.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2917, 27, 28drnginvrcl 18973 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
3022, 25, 26, 29syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
3217, 31ringcl 18768 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
3310, 20, 30, 32syl3anc 1475 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34 lclkrlem2m.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
3518, 8, 34, 17lmodvscl 19089 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
364, 33, 23, 35syl3anc 1475 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
3818, 37grpsubcl 17702 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
396, 7, 36, 38syl3anc 1475 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
401, 39syl5eqel 2853 . 2 (𝜑𝐵𝑉)
411fveq2i 6335 . . 3 ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42 eqid 2770 . . . . . 6 (-g𝑆) = (-g𝑆)
438, 42, 18, 37, 11lflsub 34869 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
444, 16, 7, 36, 43syl112anc 1479 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
458, 17, 31, 18, 34, 11lflmul 34870 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
464, 16, 33, 23, 45syl112anc 1479 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
4717, 31ringass 18771 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
4810, 20, 30, 25, 47syl13anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
5017, 27, 31, 49, 28drnginvrl 18975 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r𝑆))
5122, 25, 26, 50syl3anc 1475 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r𝑆))
5251oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)))
5348, 52eqtrd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)))
5417, 31, 49ringridm 18779 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5510, 20, 54syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5646, 53, 553eqtrd 2808 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5756oveq2d 6808 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58 ringgrp 18759 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
5910, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
6017, 27, 42grpsubid 17706 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
6159, 20, 60syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
6244, 57, 613eqtrd 2808 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
6341, 62syl5eq 2816 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
6440, 63jca 495 1 (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631  1rcur 18708  Ringcrg 18754  invrcinvr 18878  DivRingcdr 18956  LModclmod 19072  LVecclvec 19314  LFnlclfn 34859  LDualcld 34925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lvec 19315  df-lfl 34860  df-ldual 34926
This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  37324  lclkrlem2q  37326
  Copyright terms: Public domain W3C validator