Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem6 37357
Description: Lemma for lcfr 37395. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p + = (+g𝑈)
lcfrlem6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem6.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem6.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem6.x (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem6.y (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem6.en (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
2 lcfrlem6.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
31, 2syl6eleq 2860 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
4 eliun 4658 . . . . 5 (𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
53, 4sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlmod 36920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
109adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
1110adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
128adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑄)
17 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
1917, 18lssel 19148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑄𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2016, 19sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (LDual‘𝑈)
2214, 21, 17, 9ldualvbase 34935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2420, 23eleqtrd 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 34905 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
286, 7, 13, 26, 27dochlss 37164 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2912, 25, 28syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3029adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3433adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3634, 35eqsstr3d 3789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3736ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 37355 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4039adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 19208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝐸)
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 37355 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4443adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 19208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
4637, 41, 453imtr4d 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
4746imp 393 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
4948, 26lssvacl 19167 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5150ex 397 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
5251reximdva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
535, 52mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
54 eliun 4658 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5553, 54sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5655, 2syl6eleqr 2861 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  wss 3723  {csn 4316   ciun 4654  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  LDualcld 34932  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  37393
  Copyright terms: Public domain W3C validator