Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem40 37391
 Description: Lemma for lcfr 37394. Eliminate 𝐵 and 𝐼. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑𝑋0 )
lcfrlem38.y (𝜑𝑌0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   0 ,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g𝑈)
2 eqid 2760 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 lcfrlem38.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 lcfrlem38.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 36919 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 lcfrlem38.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9 lcfrlem38.p . . . 4 + = (+g𝑈)
10 lcfrlem38.sp . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 37354 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
19 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 701 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 37354 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
23 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
24 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌0 ))
2522, 23, 24sylanbrc 701 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
26 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 37372 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
281, 2, 6, 27lsateln0 34803 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 )
29 lcfrlem38.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
30 lcfrlem38.c . . . 4 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
3153ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32153ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝑄)
33 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
34333ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝐶)
35163ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋𝐸)
36213ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌𝐸)
37183ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋0 )
38233ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌0 )
39263ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40 eqid 2760 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
41 simp2 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
42 simp3 1133 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖0 )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 37390 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
4443rexlimdv3a 3171 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸))
4528, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  ∪ ciun 4672  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LSAtomsclsa 34782  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893  LDualcld 34931  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  ocHcoch 37156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204 This theorem is referenced by:  lcfrlem41  37392
 Copyright terms: Public domain W3C validator