Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem36 37388
Description: Lemma for lcfr 37395. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 37369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 37191 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
16 lcfrlem22.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
17 lcfrlem24.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
18 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
19 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑆)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
23 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
24 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
26 lcfrlem29.i . . . . . 6 𝐹 = (invr𝑆)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
28 lcfrlem30.c . . . . . 6 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 37387 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿𝐶))
3029fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ( ‘(𝐿𝐶)))
3115, 30eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)))
32 eqimss 3806 . . 3 ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
3331, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
34 eqid 2771 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 6dvhlmod 36920 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 eqid 2771 . . . . 5 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 37382 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (LFnl‘𝑈))
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 34905 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉)
391, 2, 4, 34, 3dochlss 37164 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
406, 38, 39syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 19208 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶))))
4233, 41mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318  cmpt 4863  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  -gcsg 17632  invrcinvr 18879  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LSAtomsclsa 34783  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  LDualcld 34932  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  37389
  Copyright terms: Public domain W3C validator