Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem32 37384
 Description: Lemma for lcfr 37395. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem31.xi (𝜑 → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem32 (𝜑𝐶 ≠ (0g𝐷))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem32
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.ne . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 lcfrlem17.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
7 lcfrlem17.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1110adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 lcfrlem17.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 lcfrlem17.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
161adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 lcfrlem22.b . . . . 5 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
18 lcfrlem24.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
19 lcfrlem24.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
20 lcfrlem24.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑆)
21 lcfrlem24.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
22 lcfrlem24.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
23 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝐼𝐵)
25 lcfrlem24.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
26 lcfrlem25.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
27 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
2827adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
29 lcfrlem29.i . . . . 5 𝐹 = (invr𝑆)
30 lcfrlem30.m . . . . 5 = (-g𝐷)
31 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
32 lcfrlem31.xi . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
3332adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
34 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝐶 = (0g𝐷))
352, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34lcfrlem31 37383 . . . 4 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3635ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐶 = (0g𝐷) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3736necon3d 2954 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝐶 ≠ (0g𝐷)))
381, 37mpd 15 1 (𝜑𝐶 ≠ (0g𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∃wrex 3052   ∖ cdif 3713   ∩ cin 3715  {csn 4322  {cpr 4324   ↦ cmpt 4882  ‘cfv 6050  ℩crio 6775  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  .rcmulr 16165  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  0gc0g 16323  -gcsg 17646  invrcinvr 18892  LSpanclspn 19194  LSAtomsclsa 34783  LKerclk 34894  LDualcld 34932  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-undef 7570  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-0g 16325  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-oppg 17997  df-lsm 18272  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lvec 19326  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205 This theorem is referenced by:  lcfrlem34  37386
 Copyright terms: Public domain W3C validator