Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl8 37305
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl8.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl8 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8
StepHypRef Expression
1 lcfl8.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfl8.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfl8.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 36913 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6 lcfl8.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2770 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2770 . . . . . . 7 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
96, 7, 8islsati 34796 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
105, 9sylan 561 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
1211fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13 simp-4r 762 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐶)
14 lcfl8.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 lcfl8.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad4antr 704 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐹)
1714, 16lcfl1 37295 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
1813, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
19 lcfl8.o . . . . . . . . 9 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
203ad4antr 704 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simplr 744 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
2221snssd 4473 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
231, 2, 19, 6, 7, 20, 22dochocsp 37182 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ‘{𝑥}))
2412, 18, 233eqtr3d 2812 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
2524ex 397 . . . . . 6 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) → (( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2625reximdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2710, 26mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
285adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2770 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
306, 29lmod0vcl 19101 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
3128, 30syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
32 simpr 471 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
333adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3433adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
351, 2, 19, 6, 29doch0 37161 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3732, 36eqtr4d 2807 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)}))
38 sneq 4324 . . . . . . . 8 (𝑥 = (0g𝑈) → {𝑥} = {(0g𝑈)})
3938fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑈) → ( ‘{𝑥}) = ( ‘{(0g𝑈)}))
4039eqeq2d 2780 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) ↔ (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)})))
4140rspcev 3458 . . . . 5 (((0g𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)})) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4231, 37, 41syl2anc 565 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
43 lcfl8.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
44 lcfl8.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
451, 19, 2, 6, 8, 43, 44, 14, 3, 15lcfl3 37297 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
4645biimpa 462 . . . 4 ((𝜑𝐺𝐶) → (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
4727, 42, 46mpjaodan 939 . . 3 ((𝜑𝐺𝐶) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4847ex 397 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶 → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
4933ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
50 simp2 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
5150snssd 4473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
52 eqid 2770 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
531, 52, 2, 6, 19dochcl 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
5449, 51, 53syl2anc 565 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
551, 52, 19dochoc 37170 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
5649, 54, 55syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
57 simp3 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
5857fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
5958fveq2d 6336 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))))
6056, 59, 573eqtr4d 2814 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
6160rexlimdv3a 3180 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6214, 15lcfl1 37295 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6361, 62sylibrd 249 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → 𝐺𝐶))
6448, 63impbid 202 1 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  {crab 3064  wss 3721  {csn 4314  ran crn 5250  cfv 6031  Basecbs 16063  0gc0g 16307  LModclmod 19072  LSpanclspn 19183  LSAtomsclsa 34776  LFnlclfn 34859  LKerclk 34887  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  DIsoHcdih 37031  ocHcoch 37150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34778  df-lshyp 34779  df-lfl 34860  df-lkr 34888  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tgrp 36545  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-dveca 36805  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151  df-djh 37198
This theorem is referenced by:  lcfl8a  37306  lcfl8b  37307
  Copyright terms: Public domain W3C validator