Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6lem 37308
Description: Lemma for lcfl6 37310. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 37282) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a + = (+g𝑈)
lcfl6lem.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfl6lem.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i 1 = (1r𝑆)
lcfl6lem.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z 0 = (0g𝑈)
lcfl6lem.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl6lem.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfl6lem.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lcfl6lem.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3 lcfl6lem.r . 2 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2771 . 2 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5 lcfl6lem.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lcfl6lem.l . 2 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lcfl6lem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 lcfl6lem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 lcfl6lem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
107, 8, 9dvhlvec 36919 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
117, 8, 9dvhlmod 36920 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfl6lem.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 34905 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
14 lcfl6lem.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
157, 8, 1, 14dochssv 37165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
169, 13, 15syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
17 lcfl6lem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1817eldifad 3735 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
1916, 18sseldd 3753 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
20 lcfl6lem.z . . 3 0 = (0g𝑈)
21 lcfl6lem.a . . 3 + = (+g𝑈)
22 lcfl6lem.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
23 eqid 2771 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24 eldifsni 4457 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
26 eldifsn 4453 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2719, 25, 26sylanbrc 572 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 37285 . 2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 37282 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 37283 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ‘{𝑋}))
3129, 30eqtr4d 2808 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32 lcfl6lem.y . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
33 lcfl6lem.i . . . 4 1 = (1r𝑆)
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 37286 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
3532, 34eqtr4d 2808 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 37287 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ (0g𝑆))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 34910 1 (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  cmpt 4863  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  1rcur 18709  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205
This theorem is referenced by:  lcfl6  37310
  Copyright terms: Public domain W3C validator