Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl3 37202
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl3.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl3.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfl3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl3.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl3.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl3 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfl3
StepHypRef Expression
1 lcfl3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfl3.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfl3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfl3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfl3.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lcfl3.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lcfl3.c . . 3 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
8 lcfl3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 lcfl3.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl2 37201 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
11 lcfl3.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
121, 2, 3, 4, 11, 5, 6, 8, 9dochkrsat2 37164 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴))
1312orbi1d 741 . 2 (𝜑 → ((( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉) ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
1410, 13bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  {crab 3018  cfv 6001  Basecbs 15980  LSAtomsclsa 34681  LFnlclfn 34764  LKerclk 34792  HLchlt 35057  LHypclh 35690  DVecHcdvh 36786  ocHcoch 37055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-riotaBAD 34659
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-undef 7519  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-0g 16225  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-lsm 18172  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-dvr 18804  df-drng 18872  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-lvec 19226  df-lsatoms 34683  df-lshyp 34684  df-lfl 34765  df-lkr 34793  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-llines 35204  df-lplanes 35205  df-lvols 35206  df-lines 35207  df-psubsp 35209  df-pmap 35210  df-padd 35502  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866  df-tgrp 36450  df-tendo 36462  df-edring 36464  df-dveca 36710  df-disoa 36737  df-dvech 36787  df-dib 36847  df-dic 36881  df-dih 36937  df-doch 37056  df-djh 37103
This theorem is referenced by:  lcfl4N  37203  lcfl8  37210
  Copyright terms: Public domain W3C validator